Успоредник

Описание

В учебния материал „Успоредник“

• е дадена дефиницията му и са формулирани неговите теореми-признаци и теореми-свойства.
• Формулирани са и са доказани 9 допълнителни твърдения кога един изпъкнал четириъгълник е успоредник.
• Основните задачи са твърдения, които се използват като теореми и свойства, но трябва да се доказват. Формулирани са и са доказани 7 основни задачи.

1. (ОСНОВНА ЗАДАЧА) Сборът от ъглите във всеки четириъгълник е 360º.
2. (ОСНОВНА ЗАДАЧА) Ако в един четириъгълник две двойки срещуположни ъгли са равни, то той е успоредник.
3. (ОСНОВНА ЗАДАЧА) Всяка отсечка, чиито краища лежат върху правите, съдържащи две срещулежащи страни на успоредник, и която минава през пресечната точка на диагоналите му, се разполовява от нея.
4. (ОСНОВНА ЗАДАЧА) Ъглополовящите на срещулежащите ъгли в успоредника са успоредни помежду си.
5. (ОСНОВНА ЗАДАЧА) Ъглополовящите на два прилежащи на една страна ъгли в успоредника сключват прав ъгъл при пресичането си.
6. (ОСНОВНА ЗАДАЧА) Даден е успоредник ABCD и ъглополовящите AA1 и BB1, съответно на ∠BAD и ∠ABC като A1 и B1 са от DC. Пресечната точка на AA1 и BB1 е M. Тогава 

• Ако точка M е вътрешна за ABCD, то AD>½AB.
• Ако точка M е външна за ABCD, то AD<½AB.
• Ако точка M е от DC, то AD=½AB.

7. (ОСНОВНА ЗАДАЧА)  Ако ABCD е успоредник с ъглополовящи AA1 и BB1, съответно на ∠BAD и ∠ABC, като точка M е пресечната точка на AA1 и BB1, то в сила са следните твърдения:

• Ако AD>½AB, то точка M е вътрешна за ABCD.
• Ако AD<½AB, то точка M е външна за ABCD.
• Ако AD=½AB, то точка M е от страната DC.

 

• Първо са решени 5 примера, които изискват само непосредствено прилагане на дефиницията за успоредник, теоремите-признаци и теоремите-свойства.
• Следват 13 изчислителни задачи, в които се прилагат знанията за успоредник.

Характерно за тези задачи е, че при тяхното решаване най-често се налага съставянето на уравнение, като за неизвестно се избере някой от търсените елементи. Зависимостите между известните и неизвестните елементи, които се използват при съставянето на уравнението са преди всичко формулите за лице и периметър на успоредник, теоремата за сбор от ъглите в триъгълник.

В пример 7.1 се търсят ъглите на успоредника по дадени други ъгли. Основните знания, които ще използваме, са:

• знанията, свързани с ъгли, образувани от пресичането на две успоредни прави с трета, тъй като срещулежащите страни в успоредника, са успоредни;
• сборът от ъглите във всеки триъгълник е 180º, а сборът от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90º.

Подусловие 5. и 6. са частни случаи на следното по-общо твърдение.

В успоредника ъгълът между височините спуснати от връх на тъп ъгъл, е равен на острия ъгъл, а ъгълът между височините, спуснати от връх на остър ъгъл е равен на тъпия ъгъл.

В следващите 7 примера е разгледано търсенето на линейни елементи. Примери от 7.2 до 7.8 са илюстрация на често срещаните случаи за решаване на задачи, използвайки връзките между дължините на страните, периметъра, височините и лицето.

За успешното решаване на този тип задачи са важни:

• умението да се съставят уравнения, изразяващи връзките между известните и неизвестните величини
• владеенето на следните основни задачи:

1. срещулежащите страни на успоредника са равни;
2. периметърът му е равен на сбора от страните му;
3. лицето му е равно на произведението на страна и височина към нея.Със следващите примери от 7.11 до 7.13 се илюстрира друг често срещан случай – решаване чрез прилагане на свойствата на ъглополовящите на ъглите. Показаните решения използват основни задачи 5.4, 5.5 и 5.6.

• След което са решени 7 задачи за други фигури, в решението на които се използват свойствата на успоредника. Два примера са илюстрация на случаите как те се използват при доказване, че три точки лежат на една права.
• Накрая има 3 задачи, които обхващат почти целия геометричен материал (наречени са задачи на конкурсно ниво).

• Има и 7 контролни работи.
• Текст 73 страници.

За да решите задачите от този материал, трябва да познавате числовите пропорции

https://maryiavomath.com/produkt-kategoriya/6-klas/.

Подготовка за НВО след 7. клас

Познаването на дефиницията за успоредник, на теоремите-свойства и теоремите-признаци и на основните задачи е ключово за отличното представяне на изпита в края на 7. клас. Можете да прегледате официалните примерни задачи за НВО https://www.mon.bg/obshto-obrazovanie/natsionalno-vanshno-otsenyavane-nvo/nvo-za-vii-klas/, за да видите как се прилагат тези знания. Нашият материал е структуриран така, че да покрива всички видове задачи, които се падат на изпита.

За да Ви преподам целия този материал индивидуално, ще са ни нужни часове наред. Сега го получавате систематизиран на цената на едва три часа работа с мен!